Lecture 11

这一讲将会进行全新的话题——evolution。

1. 博弈论对生物学有很多的影响。
2. 将其中的一些结论反作用于社会中。

种内竞争

假设：

• 参加的是两个玩家，并且是对称博弈

• 两个足够大的群体，随机进行匹配

• 没有基因的重新分配

这是一个囚徒困境。

大多数的合作型的蚂蚁，和少部分的不合作的蚂蚁。

$\varepsilon$是不合作的，$1-\varepsilon$是合作型的蚂蚁。

混合策略是($1-\varepsilon, \varepsilon$)

那么$Eu_1(C, \epsilon) = 2*(1-\epsilon) + 0*\epsilon$

$Eu_1(D, \epsilon) = 3*(1-\epsilon) + 1*\epsilon$

看到不合作的收益$Eu_1(D, \epsilon)>Eu_1(C, \epsilon)$

也就是不合作的群体数量会变大。

结论：Cooperate不是evolution stable（缩写为ES）。

那么不合作是否是evolution stable的呢？

我们同样进行上面的计算。

混合策略是(合作比率，不合作比率) = ($\varepsilon, 1-\varepsilon$)，合作的人变成少数

$Eu_2(C, \epsilon) = 2*(\epsilon) + 0*(1-\epsilon)$

$Eu_2(D, \epsilon) = 3*(\epsilon) + 1*(1-\epsilon)$

$Eu_2(D, \epsilon)\gt Eu_2(C, \epsilon)$，因此是evolution stable。

新例子

加入选b的玩家入侵，有$\epsilon$（小量）概率选择b，$1-\epsilon$比率群体选择c。

那么得到下面的计算：

选择c的人的收益期望为 $(1-\epsilon)c+\epsilon b = (1-\epsilon)0+\epsilon*1 = \epsilon$

同理，b vs $(1-\epsilon)c+\epsilon b = (1-\epsilon)1+\epsilon*0 = 1-\epsilon > \epsilon$

因此c不是那是均衡点。

lesson:

如果一个策略s不是纳什均衡的，那么s就不是evolution stable。

如果s是evolution stable, 那么(s, s)就是那是均衡的状态。

纳什均衡状态，来推测是否是evolution stable的？答案是否定的。

反例

纳什均衡点是(a a), (b, b)

b是evolution stable吗？

假设入侵者选择$\epsilon$选择a, $1-\epsilon$选择b

那么选择a的期望收益为: $1*\epsilon +0*(1-\epsilon)$

选择b的期望收益为：0小于a的期望收益。

因此是纳什均衡点，但是不能推测出是evolution stable。

但是，如果一个纳什均衡点是严格优于其他那是均衡点的，那么该决策就是那是均衡的。

b 是一个weak NE。

回顾一下什么是weak NE: 就是现在的状态有微小的变化，那么就会从这个纳什均衡点向另外一个纳什均衡点移动。

formal definition of evolution stability

在一个对称博弈中，两个玩家，设定一个入侵物种(策略$\hat s$)，加入比率为$\epsilon$。然后使得计算的期望总是比之前的大，那么就可以说$\hat s$ 是evolution stable。

（具体没有写出来，讲义笔记上很清楚的给了两种定义。）